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第十四讲
树形图
我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将要
学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法
就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法
画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝
每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实这样一直下去把所有
情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可
例题1
乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个
米老鼠不站在第3个，请问它们共有多少种不同的站法？
分析：第1个位置可以站哪些小动物？第2个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树用树形图
根”表示出所有的站法．
甲、乙、丙4个人站队，站成一条直线．如果甲不站第1、2个，乙不站第
练习
2334
、个，丙不站第、个41
丁不站第、个，那么一共有多少种站队的方法？
例题2
小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任
何一人．先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4
次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？
分析：第1次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后注意：只有第4次传球后回到小高
给谁里上才是符合题意的传法．手
ABC
2有、、三片荷叶，青蛙另一片荷呱呱”在荷叶A上，每次它都会从一片荷叶跳到
练习
叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上．请问：它一共有多少种
不同的跳法？
例题3
012
一个四位数，每一位上的数字都是、、中的一个，并且相邻的两个数字
不同，一共有多少个满足条件的四位数？
分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数树根”来画树
字作为形
图？
一个三位数567
位上的数字都是、、中的某一个，并且相邻的两个数字
3
练习
不相同，一共有多少个满足条件的三位数？
例题4
王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三位
数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有
比5大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
析：百位数字最小，有几种情况？把这些情况分别作为“树画出树形
根”图
一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于数5，那么这样的三位
一共有几个？
例题5
常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，那么
比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有
古常古古常常这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第4场后古力已经获胜，不符合题
意
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