专题15 半角模型证全等（原卷版）.pdfVIP

专题15半角模型证全等

1．【问题背景】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、

CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△

ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．

【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD

上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【学以致用】

如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长

．

2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN

绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．

（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予

证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

3．（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角

形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点

F，连接EF，此时：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF

＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DFEF（填

“＞”或“＝”或“＜“）；

（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，

且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.

4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠

EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．

5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分

是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE

≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，

且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？

（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A

沿正东方向移动2