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第一节

欧氏空间

现代微分几何

第一章

1.向量空间

定义1.数域F上的向量空间V是指交换群V,其加法

(群运算)与数乘运算满足：

(1)分配律：(λ+μ)v=λv+μv;λ(u+v)=λu+λv;

(2)结合律：(λμ)v=λ(μv);

(3)1v=v;其中，λ,μ∈F,u,v∈V

孙和军现代微分几何-2-

定义2.设V是一个向量空间,若存在v1,v2,…,vn∈V,使得v∈V,有

则称{v1,v2,…,vn}为V的一组基(基底)。

称V的维数为n,记为dimV=n。

孙和军现代微分几何-3-

定义3.对给定的向量空间V,定义：.,.:V×V→R

满足：

(1)双线性：v1+λv2,.=v1,.+λv2,.;

(2)对称性：v1,v2=v2,v1;

(3)正定性：v,v≥0,等号成立v=0;

则称.,.为V上的欧氏内积。一般也可记为称(V,g(.,.))为欧氏向量空间。

孙和军现代微分几何-4-

2.欧氏向量空间

定义4.若欧氏空间Vn的基底{δi}满足：

则称{δi}为Vn的单位正交基底(orthonormalbasis)。

孙和军现代微分几何-5-

定义5.设A为非空集合（A中的元素称为点）,Vn为n维向量空间，若存在映射：A×A→Vn满足：

(2)p∈A,pp=0∈Vn

(3)p∈A,v∈Vn,3|q∈A,s.t.pq=v

(4)p,q,r∈A,pq+qr=pr

则称A为n维仿射空间,V为与仿射空间A伴随的向量

空间。

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3.仿射空间(affinespace)

定义6.设A为关于向量空间Vn的仿射空间，即

o∈A,p∈A,有op-∈Vn。

若存在Vn的基底{δi},使得p∈A,有

则称{δi}为A的一个基底。

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4.欧氏空间(Euclideanspace)

定义7.设A×A→Vn,其中Vn为欧氏向量空间,则称A为欧氏空间(Euclideanspace)。记为En。

注1.仿射空间、欧氏空间是点的空间，而向量空间、欧氏向量空间是向量空间。

注2.特别地,若Vn为欧氏空间,可取{δi}为单位正交

基底。

孙和军现代微分几何-8-

定义8.设A为关于向量空间Vn的仿射空间,则对

o∈