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定积分的概念

教学目标：

⒈通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分

⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．

3.理解掌握定积分的几何意义和性质；

过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

学习重点：分割思想和定积分的基本性质

学习难点：无限细分和无穷累积的思维方法

教学过程设计

一、新课引入

在小学与中学阶段我们学习了规则图形的面积求法，这一节课我们来学习不规则图形面积的求法。它的求法跟定积分有关，定积分是微积分学的重要内容之一，定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．

曲边梯形的面积：

在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，面对曲边梯形，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.

图1a=x0x1x2xi-1xixn-1x

图1

a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=b

?i

O

?n

?1?2

y=f(x)

x

y

=1\*ROMANI．分割

由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.

在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为.由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积

.

用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和.

=2\*ROMANII.近似代替

由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积

.

=3\*ROMANIII.求和

得整个大曲边梯形面积的近似值

.

=4\*ROMANIV.取极限

可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近.记，则当时，误差也趋于零.因此，所求面积

.(1)

设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。

实际运用中我们可以如下操作：

1．化整为零

用任意一组分点

将区间分成个小区间，其长度为

并记

相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为。

于是

2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

3．积零为整，给出“整”的近似值

4．取极限，使近似值向精确值转化

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二：课堂讲解

利用定积分的定义，计算的值.

分析：（1）分割（2）近似代替，作和（3）取极限

讲解实录：

三．定积分的定义

定义设函数在区间上有定义，任意用分点

将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，.再作和

.

若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作.即

.(3)

其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.

四：课堂例题

五:课堂思考？

下面讨论定积分的几何意义：

=1\*ROMANI．若，则积分表示如图2所示的曲边梯形的面积，即

．

=2\*ROMANII．若，则积分表示如图3所示的曲边梯形面积的负值，即

y=f

y=f(x)

b

a

O

y

x

y

y=f(x)

b

a

O

y

x

图2图3

这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是而不是．

=3\*ROMANIII．如果在上的值有正也有负，如图4.则积分表示介于轴、曲线及直线

y=f(x)O

y=f(x)

O

y

x

．