专题15 几何探究题-备战2022年中考数学母题题源解密（河南专用）（原卷版）.pdfVIP

专题15几何探究题

【母题来源】2021年河南中考数学卷

【母题题文】下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应

的任务．

OAOBOC=ODOE=OFC

小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作

E

CEllPGHOPOP

线段，DF的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为

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ÐAOB的平分线．简述理由如下：

由作图，ÐPGO=ÐPHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则ÐPOG=ÐPOH

，即射线OP是ÐAOB的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线OA，

OBOC=ODOE=OFCCFPOP

上截取，（点，不重合）；（2）连接DE，，交点为；（3）作射线

E

，射线OP即为ÐAOB的平分线．

……

任务：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是．（填序号）

①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL．

（2）小军作图得到的射线OP是ÐAOB的平分线吗？请判断并说明理由；

（3）如图3，已知ÐAOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=3+1．点C，D分别

OAOBOC=ODCFPÐCPE=30°

为射线，上的动点，且，连接DE，，交点为，当时，直接写出线段

OC的长．

【答案】（1）⑤；（2）小军作图得到的射线OP是ÐAOB的平分线，理由见解析；（3）OC=2或2+3

【试题解析】

【分析】

（1）根据证明三角形全等的HL定理解答即可；

（2）根据作图过程可证明△EOD≌△FOC，则有∠OED=∠OFC，进而证明△CEP≌△DFP，可得PE=PF，易证

的△EOP≌△FOP，则有∠EOP=∠FOP，即可得出小军作图得到的射线OP是ÐAOB的平分线；

（3）分两种情况进行讨论，①OCOE,②OCOE；当OCOE，作射线OP，易知OP是∠AOB的平分线

即∠POE=30°，根据△EOP≌△FOP和ÐCPE=30°可求得∠OEP=45°，过P作PH⊥OA于H，易求得PH=HE=1，O

P=2，PE=2，证明△OEP∽△PEC，根据相似三角形的性质求得CE的长，进而由OC=OE﹣CE求解即可；当

OCOE，连接OP，作PM⊥OA，同理可得ÐMCP=ÐMPC=45°，ÐOEP=ÐOPE=75°，即，OE=OP，

CM=MP，再利用特殊角的三角函数即可求出MP和MO，即可求得答案．

【详解】

解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用到是HL定理证明Rt△PGO≌Rt△PHO，

故选：⑤；

（2）小军作图得到的射线OP是ÐAOB的平分线，理由为：

在△EOD和△FOC中，

OD=OC

ì

ï

íÐEOD=ÐFOC

ï

OE=OF

î

∴△EOD≌△FOC（SAS），

∴∠OED=∠OFC，

∵OC=OD，OE=OF，

∴CE=DF，

在△CEP和△DFP中，

ÐCEP=ÐDFP

ì

ï

ÐEPC=