专题15 特殊平行四边形中的最值问题（解析版）.pdfVIP

专题15特殊平行四边形中的最值问题（解析版）

类型一特殊四边形中求一条线段的最小值

1．（2021春•叶集区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折

叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（）

A．13−2B．13+2C．13−3D．1

思路引领：由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB＝AB＝2，当A、B、C三

点共线时，CB的值最小，由勾股定理得出AC=2+2=13，得出CB＝AC﹣AB=13−2．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，

由折叠的性质得：AB＝AB＝2，

当A、B、C三点共线时，CB的值最小，

此时AC=2+2=22+32=13，

∴CB＝AC﹣AB=13−2；

故选：A．

总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾

股定理是解题的关键．

类型二特殊四边形中求一条线段的最大值

2．（2020•洪山区校级自主招生）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，

BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大

距离为．

思路引领：作AH⊥CD于H，由B，B关于EF对称，推出BE＝EB，当BE最小时，AE最大，根据垂

线段最短即可解决问题．

解：作AH⊥CD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AB∥CD，∠D＝180°﹣∠BAD＝60°，

∵AD＝AB＝4，

∴AH＝AD•sin60°＝23，

∵B，B关于EF对称，

∴BE＝BE，

∴当BE最小时，AE最大，

根据垂线段最短可知，当EB＝AH＝23时，BE的值最小，

∴AE的最大值为4﹣23，

故答案为：4﹣23．

总结提升：本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．

类型三特殊四边形中求线段和的最小值

3．（2019•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝

2，BC＝23，则PE+PB的最小值为（）

A．3B．3C．23D．6

思路引领：作E关于AC的对称点E，连接BE，则PE+PB的最小值即为BE的长；由已知可求EC=

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3，∠ECE＝60°；过点E作EG⊥BC，在Rt△ECG中，EG=，CG=，在Rt△BEG中，BG=

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，BE＝3；

2

解：作E关于AC的对称点E，连接BE，

则PE+PB的最小值即为BE的长；

∵AB＝2，BC＝23，E为BC的中点，

∴∠ACB＝30°，

∴∠ECE＝60°，

∵EC＝CE，

∴EC=3，

过点E作EG⊥BC，

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在Rt△ECG中，EG=，CG=，

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在Rt△BEG中，BG