经济数学 微分中值定理课件.ppt

第三章微分中值定理

第一节中值定理

一、罗尔中值定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

四、小结思考题

(1)

罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]

上连续(,2)在开区间(a,b)内可导,(3且)在区间端点的函数

值相等，即f(a)f(b),那末在(a,b)内至少有一点

(ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，

即f()0

例如,f(x)x22x3(x3)(x1).

在[1,3]上连续,在(1,3)上可导,且f(1)f(3)0,

f(x)2(x1),取1,(1(1,3))f()0.

y

几何解释:C

yf(x)

在曲线弧AB上至少有一

点C,在该点处的切线是

水平的.

oa12bx

物理解释:

变速直线运动在

折返点处,瞬时速

度等于零.

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证f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m.

(1)若Mm.则f(x)M.

由此得f(x)0.(a,b),都有f()0.

(2)若Mm.f(a)f(b),

最值不可能同时在端点取得.

设Mf(a),

则在(a,b)内至少存在一点使f()M.

f(x)f(),f(x)f()0,

f(x)f()

若x0,则有0;

x

f(x)f()

若x0,则有0;

x

f(x)f()

f()lim0;

x0x

f(x)f()

f()lim0;f()存在,

x0x

f()f().只有f()0.

注意:假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足,

其结论可能不成立.

例如,yx,x[2,2];

在[2,2]上除f(0)不存在外,满足罗尔定理

的一切条件,但在区间[-2，2]内找不到一点能

使f(x)0.

1x,x(0,1]

又例如,y;

0,x0

yx,x[0,1].

例1证明方程x55x10有且仅有一个小于

1的正实根.

5

证设f(x)x5x1,则f(x)在[0,1]连续,

且f(0)1,f(1)3.由介值定理

使即为方程的小于的正实根

x0(0,1),f(x0)0.1.

设另有使

x1(0,1),x1x0,f(x1)0.

在之间满足罗尔定理的条件

f(x)x0,x1,

至少存在一个在之间使得

(x0,x1),f()0.

但f(x)5(x41)0,(