换元法解一元二次方程(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

换元法解一元二次方程

一、课堂目标

了解换元法，能用换元法解一元二次方程或可化为一元二次方程的分式方程．

二、知识讲解

换元法

一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话：

老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：．

学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？

老师：这样，原方程可整理为，次数变成了次，用现有的知识无法解

答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？

学生乙：我发现方程中是整体出现的，最好不要去括号！

老师：很好．如果我们把看成一个整体，用来表示，那么原方程就变成．

全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？

老师：大家真会观察和思考，太棒了！

显然一元二次方程的解是，，

就有或．

学生丙：对啦，再解这两个方程，

可得原方程的根，，，，嗬，有这么多根啊．

老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次

数，这是一种很重要的转化方法．

全体同学：！换元法真神奇！

换元法解方程的步骤

（）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示中另外的代数式．

（）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值．

（）把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值．

（）检验做答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意．

1

1.换元法解一元二次方程

例题1

1.我们知道方程的解是，现给出另一个方程

，它的解为．

【答案】，

【解析】把方程看作关于的一元二次方程，

所以或，

所以，．

【标注】【知识点】解一元二次方程

2.阅读下面的材料．回答问题：

解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为①，解得，，

当时，，∴；

当时，，∴；

∴原方程有四个根：，，，．

在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想，请运用该

思想解方程：

（1）．

（2）．

【答案】（1），．

（2），．．

【解析】（1）设，则原方程可化为

解得：，

当时，，解得：，

当时，，此方程无实数根

所以原方程的解为，．

（2）

2

设

则

解得：，

当时，，解得：，

当时，