高中数学-艺考生专题讲义09 函数的周期性与对称性.pdfVIP

考点09函数的单调性与奇偶性

知识梳理

一．函数的周期性

1.周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周

期函数，称T为这个函数的周期．

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

1

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a0)．

f（x）

1

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a0)．

f（x）

二．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

精讲精练

题型一对称性

fxfxf2x1xxxxfxfx0

【例1】已知函数定义域为，满足，且对任意均有

R121212

f2x1f3x0x

成立，则满足的的取值范围是()

24

A．,23,B．,03,



24

C．2,3D．0,3



【答案】D

【解析】因为函数fx满足fxf2x，所以函数fx关于直线对称，

x1

xxfxfx0

因为对任意1xx均有成立，所以函数fx在1,上单调递减.

121212

由对称性可知fx在,1上单调递增.



因为f2x1f3x0，即f2x1f3x，



4

所以2x113x1，即2x22x，解得0x.故选：D.

3

【举一反三】

1.已知函数2，