高中数学-艺考生专题讲义39 相互独立事件与正态分布.pdfVIP

考点39相互独立事件与正态分布

知识梳理

一．相互独立事件

(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立

事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

BAAB

(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

(5)相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是

指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(6)P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．

二．正态分布

(一)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

1

③曲线在x＝μ处达到峰值；

σ2π

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，

曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(二)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.

精讲精练

题型一相互独立实验

【例2】(2024·九江市同文中学高三期中)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知

识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和

选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答

42

对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.

55

(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；

(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同

1

学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得

2

分的分布列.

X

256

【答案】(1)；(2)答案见解析.

625

4

41256

4

【解析】(1)甲恰好答对4道必答题的概率为PC.

5

55625



121

(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为

2