专题25以四边形为载体的几何综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题25以四边形为载体的几何综合问题

【例1】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边

上的点（点E不与点B，C重合），且∠=45°．

(1)当=时，求证：=；

(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，⊥，垂足为K，交AC于点H且

=．若=，=，请用含a，b的代数式表示EF的长．

【答案】(1)见解析

(2)=+，见解析

(3)2+

2

=∠=∠=90°

【分析】（1）先利用正方表的性质求得，，再利用判定三角形全等

的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；

（2）延长CB至M，使=，连接AM，先易得△≌△()，推出

=，∠=∠，进而得到△≌△()，最后利用全等三角形的性质

求解；

（3）过点H作⊥于点N，易得△≌△()，进而求出=2，再根

2

据（2）的结论求解．

（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴=，∠=∠=90°．

在△和△中

=

∠=∠，

=

∴△≌△()，

∴=；

（2）

解：BE，EF，DF存在的数量关系为=+．

理由如下：

延长CB至M，使=，连接AM，

则∠=∠=90°．

在△和△中

=

∠=∠，

=

∴△≌△()，

∴=，∠=∠．

∵∠=45°，

∴∠+∠=∠+∠=45°．

∴∠MAE=∠FAE，

在△和△中

=

∠=∠，

=

∴△≌△()，

∴EM=EF，

∵EM=BE+BM，

∴=+；

（3）

解：过点H作⊥于点N，

则∠=90°．

∵⊥，

∴∠=∠=90°，

∴∠=∠．

在△和△中

∠=∠

∠=∠，

=

∴△≌△()，

∴=．

∵∠=45°，∠=90°，

∴sin45°=，

2

∴=，

2

=+=+=2+

由（2）知，．

2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，

作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．

【例2】（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E

不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG