专题13 空间角问题（解析版）.docx

专题13空间角问题

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1.异面直线所成角的求解步骤

平移

平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移

证明

证明所作的角是异面直线所成的角或其补角

寻找

在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之

取舍

因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角

2.求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

3.作二面角的平面角的3种方法

定义法

在棱上取点，分别在两平面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角

垂面法

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角

垂线法

过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，

垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α-l-B的平面角

例1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（1）设分别为的中点，求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】（1）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.

（2）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（3）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，

因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，

故在中，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.

学业水平测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()

A．30°B．60°C．75° D．90°

【答案】D

【解析】将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝eq\r(2)，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因为BC1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.

2.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()

A．60° B．30°C．45° D．90°

【答案】A

【解析】如图，在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6可得，BC＝eq\r(6).连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝eq\r(3)，所以PA＝2，OE＝eq\f(1,2)PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝eq\r(3)，所以tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝eq\r(3)，即∠BEO＝60°.故直线BE与平面PAC所成角为60°.

3.如图，多面体为正方体，则下面结论正确的是

A．；B．平面平面；

C．平面平面；D．异面直线与所成的角为

【答案】C

【解析】在A中，若，由，得，矛盾，故A错误；

在B中，平面，平面平面，

则平面平面也是错误的，故B错误；

在C中，，，平面平面，故C正确；

在D中，多面体为正方体，，

又，与所成角为，故D错误，故选C．

4.如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取的中点，连接、、.

易知是的中位线，所以且.

又且，为的中点，所以且，所以且.

所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.

因为，，，、、分别是、、的中点，

所以，且.

由勾股定理得，所以.

由勾股定理得，.

在三角形CDF中，由余弦定理得.故选：C.

5.如图，在长方体中，对角线与平面，，的夹角分别为，，，且，，则________.

A.263B.63C.

【答案】A

【解析】连结，，，由长方体的性质知，

，，