3.1.2 空间两点间的距离公式（15页）课件 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修1.pptx

3.1.2空间两点间的距离公式

1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离.

思考：在空间直角坐标系中，两点间的距离与两点的坐标有何关系?在空间直角坐标系中，给定P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点.特殊情况：若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体A1P1C1O-APCB(如图1)，且长方体的棱长满足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|.图1

由图1可知，P，O两点间的距离就是长方体A1P1C1O-APCB的对角线PO的长度.根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2，即由上述方法得到启发：空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度.图1

一般情况：对于空间任意P，Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面(如图2)，当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体PCBA-EFQD，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合.由图易知，C，B两点的坐标分别为(x1，y2，z1)，(x2，y2，z1)，∵CB平行于x轴，∴|CB|=|x2-x1|.同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|.图2

图2∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2，即当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合(z1=z2)，作出其余四个平面与xOy平面的交线(如图3).易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段PQ与P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|.图3

图3由图3易知，P1，Q1两点的坐标分别为(x1，y1，0)，(x2，y2，0)，再根据平面上两点间的距离公式，有于是仍有

归纳总结已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为这就是空间两点间的距离公式.

例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．?

例1:已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．?

1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．归纳总结

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由空间两点间距离求点的坐标的方法：归纳总结(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.

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空间两点间距离公式是什么？回顾其推导过程.