专题16 垂径定理和与圆有关的角-【重难点突破】2021-2022学年九年级数学上册期中期末专题抢先看（人教版）（解析版）.pdfVIP

专题16垂径定理和与圆有关的角

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，

所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=1圆心角）

2

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆

内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

例：∠BCD+∠DAB=180°，∠BCD=∠DAE

考查题型一利用垂径定理求值

12020·O∠=22.5°=4

典例．（莆田市九年级期中）如图⊙的直径垂直于弦，垂足是，，，的

长为（）

A．B．4C．D．8

C

【答案】

【详解】

∵直径AB垂直于弦CD，

1

CE=DE=CD

∴，

2

∠A=22.5°

∵，

∴∠BOC=45°，

∴OE=CE，

设OE=CE=x，

∵OC=4，

22

∴x+x=16，

解得：x=22，

即：CE=22，

CD=4

∴2，

C

故选．

1-12020·,,,,

=5,=8

变式．（浙江镇海区九年级期中）如图是⊙的直径弦⊥于点则

=()

A．8B．5C．3D．2

A

【答案】

【提示】

根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即

可得出AE的长度．

【详解】

∵CD⊥ABECD=8cm

弦于点，，

1

CE=CD=4cm

∴．

2

在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，

OE=22=3cm

∴―，

AE=AO+OE=5+3=8cm

∴．

故选A．