2024_2025学年高中数学第12章统计学初步12.1总体和个体12.1.1总体个体和总体均值12.docVIP

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12．1.1总体、个体和总体均值12．1.2样本与样本均值12．1.3方差和标准差

1.通过实例了解总体、个体、总体均值与样本均值．2.理解样本数据标准差的意义和作用．

3．驾驭标准差的计算．

1．相关概念

(1)总体：我们所要调查对象的全体叫作总体．

(2)个体：总体中的每个成员叫作个体．

(3)样本：从总体中抽取一部分个体，称这些个体为样本，也称为观测数据．

(4)样本容量：样本中个体的数目叫作样本容量，简称样本量．

(5)抽样：从总体中抽取样本的工作称为抽样．

(6)样本均值：是样本的平均值，用eq\x\to(x)表示．

2．方差和标准差

(1)总体方差：当y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值时，称σ2＝

eq\f(（y1－μ）2＋（y2－μ）2＋…＋（yN－μ）2,N)是总体的平均平方误差，简称为总体方差或方差．

(2)样本方差：给定n个观测数据x1，x2，…，xn，用x表示这n个数据的均值．称为这n个数据的样本方差，简称为方差．

(3)标准差：方差的算术平方根．

假如s2是样本方差，就称s＝eq\r(s2)是样本标准差．

假如σ2是总体方差，就称σ＝eq\r(σ2)是总体标准差．

1．推断正误．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4.()

(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半．()

(3)方差与标准差具有相同的单位．()

(4)假如一组数据中每个数据减去同一个非零常数，则这组数据的平均数变更，方差不变．()

解析：(1)中的众数应为4和5；(2)正确；(3)二者单位不一样；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．

答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()

A．平均数中位数众数

B．平均数中位数众数

C．中位数众数平均数

D．众数＝中位数＝平均数

解析：选D.平均数、中位数、众数皆为50，故选D.

3．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．

解析：因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，

所以s＝eq\r(\f(1,5)×[（3－5）2＋…＋（6－5）2])＝eq\r(2).

答案：eq\r(2)

众数、中位数、平均数的综合应用[学生用书P29]

高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．

(1)求这次测验全班平均分(结果保留两位小数)；

(2)估计全班成果在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？

(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要缘由是什么？

【解】(1)利用平均数计算公式得x＝eq\f(1,48)(82×27＋80×21)≈81.13(分)．

(2)因为男同学的中位数是75，

所以至少有14人得分不超过75分．

又因为女同学的中位数是80，

所以至少有11人得分不超过80分．

所以全班至少有25人得分低于80分(含80分)．

(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严峻，得分高的和得分低的相差较大．

eq\a\vs4\al()

平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是依据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的依次排列，再依据各自的定义计算．

[留意]假如样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．

1.在一次数学测验中，某小组14名学生的成果与全班的平均分85分的差分别是(单位：分)：2，3，－3，－5，12，12，8，－2，－1，4，－10，－2，5，5，那么这个小组的平均分是()

A．88分 B．87分

C．86分 D．85分

解析：选B.2＋3＋(－3)＋(－5)＋12＋12＋8＋(－2)＋(－1)＋4＋(－10)＋(－2)＋5＋5＝28(分).

85＋eq\f(28,14)＝87(分).

方差及标准差的应用[学生用书P29]

甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)依据计算结果推断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【解】(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)

＝100，

eq\