换元法解一元二次方程(学生版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

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换元法解一元二次方程

一、课堂目标

了解换元法,能用换元法解一元二次方程或可化为一元二次方程的分式方程.

二、知识讲解

换元法

一次数学兴趣小组的活动课上,师生有下面一段对话:

老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:.

学生甲:老师,先去括号,再合并同类项,行吗?

老师:这样,原方程可整理为,次数变成了次,用现有的知识无法解

答.同学们再观察观察,看看这个方程有什么特点?

学生乙:我发现方程中是整体出现的,最好不要去括号!

老师:很好.如果我们把看成一个整体,用来表示,那么原方程就变成.

全体同学:咦,这不是我们学过的一元二次方程吗?

老师:大家真会观察和思考,太棒了!

显然一元二次方程的解是,,

就有或.

学生丙:对啦,再解这两个方程,

可得原方程的根,,,,嗬,有这么多根啊.

老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法.在这里,使用它最大的妙处在于降低了原方程的次

数,这是一种很重要的转化方法.

全体同学:!换元法真神奇!

换元法解方程的步骤

()设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示中另外的代数式.

()解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值.

()把辅助未知数的值代入原设中,求出原未知数的值.

()检验做答,要检验求得的解是否为原方程的根,是否符合题意.

1

1.换元法解一元二次方程

例题1

1.我们知道方程的解是,现给出另一个方程

,它的解为.

2.阅读下面的材料.回答问题:

解方程,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:

设,那么,于是原方程可变为①,解得,,

当时,,∴;

当时,,∴;

∴原方程有四个根:,,,.

在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了数学的转化思想,请运用该

思想解方程:

(1).

(2).

练习1

1.若,则的值为().

A.B.C.或D.或

2.若,则.

2.换元法解可化为一元二次方程的分式方程

例题2

1.用换元法解方程时,若设,那么原方程可化为关于的整式方程

是.

2.解方程:.

练习2

1.解方程:.

2.解方程:.

2

3.解方程:.

4.若,则的值是().

A.B.C.

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