高中数学-艺考生专题讲义23 利用导数求极值最值.pdfVIP

考点23利用导数求极值最值

知识梳理

1．函数的极值的定义

一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就

说f(x)是函数的极大值，x叫做函数的极大值点．如果对x附近的所有的点，都有f(x)＞f(x)，

0000

就说f(x)是函数的极小值，x叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极

00

大值点与极小值点统称为极值点．

注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)

0

＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′

＝0，但x＝0不是极值点．

2．判断f(x0)是极大、极小值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0

是f(x)的极值点，f(x0)是极值．

如果在x附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x)是极大值；

00

如果在x附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x)是极小值．

00

3．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)检查f′(x)在x0两侧的符号

①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；

②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；

③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

4．函数的最值

在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)

在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

5．函数的极值与最值的区别与联系

极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近

的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在

整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．

精讲精练

题型一求极值



1yx2cosx0,

【例】函数在2上的极大值点为()





A．0B．C．D．

362

【答案】C

【解析】函数yx2cosx的导数为y12sinx，

