2025年中考数学一轮复习第07讲 一元二次方程及其应用（讲义，4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧）)（原卷版）.docxVIP

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第二章方程与不等式

第07讲一元二次方程及其应用

（思维导图+4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧））

TOC\o1-1\n\h\z\u01考情透视·目标导航

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

考点一一元二次方程及解法

考点二根的判别式

考点三一元二次方程根与系数的关系

考点四一元二次方程的实际应用

04题型精研·考向洞悉

命题点一一元二次方程及其解法

?题型01已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值

?题型02选用合适的方法解一元二次方程

?题型03以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程

?题型04配方法的应用

?题型05以开放性试题的形式考查解一元二次方程

命题点二根的判别式

?题型01不解方程，判断一元二次方程根的情况

?题型02根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围

?题型03利用根的判别式求代数式的值

?题型04以开放性试题的形式考查根的判别式

命题点三一元二次方程根与系数的关系

?题型01不解方程，求方程中参数的值

?题型02不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值

命题点四一元二次方程的实际应用

?题型01变化率问题

?题型02几何图形问题

?题型03以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用

?题型04以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用

01考情透视·目标导航

中考考点

考查频率

新课标要求

一元二次方程及其解法

★★

理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程

一元二次方程根的判别式

★

会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等

一元二次方程根与系数的关系

★★

了解一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的实际应用

变化率问题

★★

能根据现实情境理解方程的意义；

能针对具体问题列出方程；

能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.

利润问题

★★

循环问题

★

面积问题

★

其它问题

★

【考情分析1】本专题包括利用根的判别式确定一元二次方程解的情况、已知方程解的情况确定方程中未知字母的值及利用根与系数关系求解某些特定形式的代数式的值,试题形式多样，难度一般，常与完全平方公式的各种变形结合考查.

【考情分析2】一元二次方程的应用的考查多以解答题形式出现，难度一般，主要涉及的问题有变化率问题、利润问题、几何图形问题等.解决实际问题时，要检验所求解是否满足实际意义，注意取舍.

【命题预测】本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为12分左右.预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

考点一一元二次方程及解法

一、一元二次方程基础

一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：

【易错/热考】如果明确了ax2+

一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.

判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.

二、一元二次方程的解法

基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.

1.直接开平方法（基础）

例：形如ax2=b

当b＞0时，则x1=ba=，x2=-

当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；

当b＜0时，则方程无实数根.

2.配方法（基础）

配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；

2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；

3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；

4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.

3.公式法

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

1）把方程化为一