《分类加法计数原理与分类乘法计数原理》题型突破.docx

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《分类加法计数原理与分类乘法计数原理》题型突破

重难点突破

1.解决计数问题的常用方法

(1)枚举法

将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来分类计数时将问题分类,实际上就是将分类种数一一列举出来.

枚举法是解决问题的一种基本方法,当计数的种数不是很多时,都可以用此方法解决.

(2)特殊优先原则法

解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现解题过程中的主次思想

(3)间接法

若计数时分类较多,或无法直接计算时,可用间接法,先求出没有限制条件的种数,再减去不满足条件的种数,

2.解决较为复杂的计数问题时,注意合理分类,准确分步

(1)处理计数问题,应紧扣两个计数原理,根据具体问题弄清楚是要“分类”还是要“分步”,并搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.

(2)分类时要满足两个条件:①类与类之间要互斥(保证不重复);②总数要完备(保证不遗漏).也就是要确定一个合理的分类标准.

(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到“步”与“步”之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.

典型例题剖析

题型1用枚举法解决问题

例1.4个人各写1张贺年卡,放在一起,然后每个人取1张不是自己写的贺年卡,共有多少种不同取法？

解析:可以把4个人编号,用一、二、三、四表示,各自的卡片用1,2,3,4表示,用表格的形式一一列举出来.也可以将问题转化为组数问题来解决.

答案:方法一:把4个人编号,分别为一、二、三、四,他们写的4张贺年卡依次为1,2,3,4号,则取1张不是自己写的贺年卡的各种方法全部列举出来如表所示:

共有9种不同取法.

方法二:将该问题转化为“用这4个数字组成无重复数字的四位数,要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位,则这样的四位数有多少个”.因此,可分三步,第1步,确定个位数,有3种不同的方法;第2步,确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上,也有3种不同的方法;第3步,余下的两个数字只有一种方法.由分步乘法计数原理可得不同的分配方法数为.

总结归纳:解此类“看似简单,实则烦琐”题的关键是选用枚举法求解.用枚举法需要注意做到不重不漏.

变式训练1算筹是一种有效的计算工具,为我国古代数学的发展作出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:

表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,依此类推,遇零则置空,如图:

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为()

A.46

B.44

C.42

D.40

答案:B

解析:按每一数位上算筹的根数分类,一共有15种情况,如下:

,,1),.

2根及2根以上的算筹可以表示两个数字,根据分步乘法计数原理,上面情况能表示的三位数的个数分别为:.

根据分类加法计数原理,5根算筹能表示的三位数的个数为.

题型2用特殊优先原则解决问题

例2有共5个数字.

(1)可以排成多少个三位数?

(2)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?

解析:(1)因为三位数的百位数字不能为0,所以百位是特殊位置,0是特殊元素,故可以优先排百位或优先排特殊元素0;(2)特殊位置是百位和个位,特殊元素是.

答案:(1)三位数的百位数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位的排法,除0外共有4种方法,十位数

字、个位数字可以为.因此,共有种排法.即可以排成100个三位数.

(2)被2整除的数即偶数,个位数字可为,因此,可以分两类,一类是个位数字是0,则有种排法;另一类是个位数字不是0,则个位可能是2或4,因0不能在百位,所以百位有3种排法,十位有3种排法,因此有种排法.因而有种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

易错提示:如果不分析特殊元素与特殊位置,在计算中容易出现“重”或“漏”的情况.因此,对于这一类问题,一般要先分析特殊元素与特殊位置.

变式训练2已知集合,且.

(1)可以表示多少个不同的二次函数?

(2)可以表示多少个图象开口向上的二次函数?

答案:(1)因为不能取0,所以有5种取法.有6种取法,有6种取法.所以可以表示个不同的二次函数.

(2)二次函数的图象开口向上时,不能取小于等于0的数,所以有2种取法.有6种取法,有6种取法.所以可以表示个图象开口向上的二次函数.

题型3用间接法解决问题

例3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的3块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有()

A.24种

B.18种

C.12种

D.6种

解析:方法一:(直接法)若黄瓜种在第1块土地上,则不同的种植方法种数为.同理,黄瓜种在第2块