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论数学史上的三次危机作文

论数学史上的三次危机作文

数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但

在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，

从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产

生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，

最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论

的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，

以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发

展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。

提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所

有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。就人类发展史

而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中

最美的科学。但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历

史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我

们应该辨证地看待这三大危机。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕

达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一

体，该学派人数固定，知识必威体育官网网址，所有发明创造都归于学派领袖。当

时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，

毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，

而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结

为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为

毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长

度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是

“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信

条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，

相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个

线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就

不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，

只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学

危机也就不复存在了。

我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如

说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画

这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开

方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并

在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。

但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的

严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于

推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危

机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时

期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本

要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。

微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷

小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷

小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的.公式，在力学和

几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻

辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能

用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉

呢？

直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把

无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义

发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是

变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，

另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从

而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解

决。

而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是

静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，

比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，