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图论作业1
⼀、填空题
1.⾮同构的阶和阶树的个数分别为和
⽅法：按照树中存在的最⻓路进⾏枚举(从开始)
注意：对于的树来说，路的最短⻓度为
23
4阶树
234
5阶树
2.阶正则图的补图的边数为
考点⼀：完全图每个点的度数是✨
考点⼆：⼀个图和其补图的并是完全图⼀个点在原图和补图中的度数和为
图是正则，那么图的补图为正则。故补图的度数之和为
根据握⼿定理：
3.设图中各顶点度数均为，且，则n=，m=
考点：握⼿定理
根据握⼿定理：
4.设简单图的邻接矩阵为，且
则图的边数为
考点：邻接矩阵的性质
定理10：令是⼀个有推⼴邻接矩阵的阶标定图，则的⾏列元素等于由到的⻓度为的途径的数⽬
推论：设为简单图的邻接矩阵，则：的元素是的度数。的元素是含的三⻆形的数⽬的两倍
（考过填空）
5.设是⼀个完全部图，是第部分的顶点数，则它的边数为
考点：完全多部图的概念与结构
完全部图的点数：；边数：（考过填空）
6.设是阶简单图，且不含完全⼦图，则其边数⼀定不会超过
考点：Turán定理
定理18(Turán)：若是阶简单图，并且不包含，则边数。此外，仅当时，
✨计算公式：，则
例：阶简单图，，则最多有条边
例：9阶简单图，，则最多有27条边
7.设阶图是具有个分⽀的森林，则其边数为
树的边数=顶点数-1
森林的边数=顶点数-连通分⽀数
8.⼀棵树有个度为的结点，，则它有个度数为的顶点
考点：握⼿定理+树的性质（边数=顶点数-1）
，其中
由握⼿定理：
故：
整理得：
9.完全图的⽣成树的个数为
定理27：
⼆、不定项选择题
1.关于图的度序列，下列命题正确的是（ABCD）
A.同构的两个图的度序列相同
B.⾮负整数序列是图的度序列当且仅当是偶数
C.如果正整数序列是⼀棵树的度序列且，那么序列中⾄少有两个
D.正整数序列是⾮平凡树的度序列当且仅当
E.若图的顶点度数之和⼤于等于图的顶点度数之和，则图度优于图❌
F.如果⾮负整数序列是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定⼀个图❌
考点：度序列图序列
关系：简单图的度序列简称图序列
注意：判断⾮负整数序列是否为简单图的度序列暂⽆好的⽅法，只有等价转换的⽅法
A显然正确（已经默认递增或递减排列）
B正确：定理3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数
C正确：定理20：每棵⾮平凡树⾄少有两⽚树叶
D正确：存
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