重难点04：导数的恒成立、存在性问题-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）(解析版）.docx

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重难点04：导数的恒成立、存在性问题

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.利用导数研究不等式恒成立问题的总方针：

1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；

2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；

3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.

2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；（2），；

（3），；（4），.

3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.

4.恒成立与有解问题解法洛必达法则

一、问题指引

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。

二、方法详解

法则1：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心邻域内，与可导且；

(3)，

那么=。

法则2：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，

那么=。

法则3：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

(3)，

那么=。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理，，，，，，型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

总结：

1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成或，归结为求的某个最值(或其极限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值)。

2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。

5.端点效应问题

含参函数恒成立问题中的求解参数范围问题端点效应问题

（1）：什么是端点效应呢？

恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的，都有恒成立”（中包含参数）

这里的端点，往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，能为我们的解题提供不少便利．比如对于上述的命题，我们就应该观察和的取值．

这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应．

（2）：端点效应的三层心法

端点效应的核心思想是：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围即为所求．

根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为如下三层心法：

第一层心法利用原函数：若端点处函数值和包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立.

故，解此不等式组即可缩小参数的范围

注意：由，只是得到了关于参数范围的一个必要条件，接下来还需进行最

值的讨论才能确定参数的精确范围．端点效应的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以大大简化接下来的讨论过程．

第二层心法利用一阶导：若端点处函数值恰为，即或，则此时有或

注意：①或这个结论并不能直接在解题中使用，虽然这个结论是对的，且大多数时候往往就是题目的答案，选择题完全没有问题，大题需要侧面证明一下．

②对于此类端点效应型问题，在讨论时要牢记一点不能分参，因为分参之后会出现

或型的极限，这是我们无法处理的，一旦需要处理只能求助洛必达法则．

③在接下来的分类讨论中，我们要确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立．

第三层利用二阶导：若端点处函数值和导数值均为0，即或则此时或.?

注意：①或不能直接在解题中使用，但我们可以由此猜出答案．

②同样的，不能分参，依然要采用整体分析的分析方法．

③在分类讨论中，同样要明确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式不能恒成立．

作为端点效应的终极大法，第二层心法的升级版，修炼起来自然有一定难度．与第二层心法最大的不同是，我们需要求二阶导数，对二阶导数找到恰当的分点作分类讨论，并在每种情况下判断恒成立条件是否成立.

二、题型精

二、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1．已知函数，