专题26 矩形篇（解析版）.pdf

专题26矩形

考点一：矩形的性质

知识回顾

1.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直

线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

微专题

1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思

考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）

A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）

A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α

【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．

【解答】解：由图可得，

∠1＝90°+∠3，

∵∠1＝α，

∴∠3＝α﹣90°，

∵∠3+∠2＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，

故选：C．

3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一

点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．

【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5

即可；

②当PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可．

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【解答】解：如图所示，

①当AP＝AE＝5时，

∵∠BAD＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴底边PE＝AE＝5；

②当PE＝AE＝5时，

1

∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，

∴PB＝，

1

∴底边AP1＝；

综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；

故答案为：5或4．

4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，

BC＝4，则图中阴影部分的面积为．

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的

面积转化为△BDC的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，

∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO；

又∵∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴S△AOE＝S△COF，

∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，

∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，

∴S阴影＝6