高等数学微积分不定积分(专题).pptVIP

微分与积分

——微分是导数的变型运算

——积分是微分的逆运算

12/21/2024不定积分冯国臣

定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的

导函数为f(x)，即xI，都有F(x)f(x)

或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)

或f(x)dx在区间I内原函数.



例sinxcosxsinx是cosx的原函数.

1

lnx(x0)

x

1

lnx是在区间(0,)内的原函数.

x

12/21/2024不定积分冯国臣

原函数存在定理：

如果函数f(x)在区间I内连续，

那么在区间I内存在可导函数F(x)，

使xI，都有F(x)f(x).

问题：(1)原函数是否唯一？

(2)若不唯一它们之间有什么联系？

12/21/2024不定积分冯国臣

关于原函数的说明：

（1）若F(x)f(x)，则对于任意常数C，

F(x)C都是f(x)的原函数.

（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数

则F(x)G(x)C（C为任意常数）



证F(x)G(x)F(x)G(x)

f(x)f(x)0

F(x)G(x)C（C为任意常数）

12/21/2024不定积分冯国臣

不定积分的定义：——不定积分就是原函数族

在区间I内，函数f(x)的带有任意

常数项的原函数称为f(x)在区间I内的

不定积分，记为f(x)dx.

f(x)dx被F(x)C

积被积任

积积意

分表分

号函变常

数达数

式量

12/21/2024不定积分冯国臣

例1求x5dx.



66

x5x

解x,x5dxC.

66

1

例2求dx.

1x2

1

解arctanx,

1x2

1

dxarctanxC.

1x2

12/21/2024不定积分冯国臣

例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的

切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.

解设曲线方程为yf(x),

dy

根据题意知2x,

dx

即f(x)是2x的一个原函数.

2

2xdxx2C,f(x)xC,

由曲线通过点（1，2）C1,

所求曲线方程为yx2