高等数学同济第五版(下)微分方程.pptVIP

第十二章

一阶微分方程

微分方程高阶微分方程

已知yf(x),求y—积分问题

推广

已知含y及其若干阶导数的方程,求y

—微分方程问题

第十二章

第一节

微分方程的基本概念

引例

引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的

切线斜率为2x,求该曲线的方程.

解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:

dy

2x①

dx

②

yx12

由①得y2xdxx2C(C为任意常数)

由②得C=1,因此所求曲线方程为yx21.

引例2.列车在平直路上以20ms的速度行驶,制动时

2

获得加速度a0.4ms,求制动后列车的运动规律.

解:设列车在制动后t秒行驶了s米,即求s=s(t).

d2s

0.4

已知dt2

ds

s0,20

t0dtt0

由前一式两次积分可得2

,s0.2tC1tC2

利用后两式可得

C120,C20

因此所求运动规律为s0.2t220t

微分方程的基本概念

含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.

常微分方程(本章内容)

分类

偏微分方程

方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程

的阶.

一般地,n阶常微分方程的形式是

F(x,y,y,,y(n))0



或y(n)f(x,y,y,,y(n1))(n阶显式微分方程)

微分方程的解—使方程成为恒等式的函数.

通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程

的阶数相同.

特解—不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.

定解条件—确定通解中任意常数的条件.

n阶方程的初始条件(或初值条件):

(n1)(n1)

y(x0)y0,y(x0)y0,,y(x0)y0

2

dydy

dx2x20.4

引例1引例2dx

ds

yx12st00,dtt020

22

通解:yxCs0.2tC1tC2

特解:yx21s0.2t220t

线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。

y(4)4y10y12y5ysinx

x(y)22yyx0

dy

sinxyex

dx

dy

xcosy1

dx

第十二章

第二节一阶微分方程

一、可分离变量微分方程

二、齐次方程

三、全微分方程（数一）

四、一阶线性微分方程

一、可分离变量微分方程

可分离变量方程

dy

f(x)f(y)

dx12