专题14 特殊平行四边形中的折叠问题（解析版）.pdfVIP

专题14特殊平行四边形中的折叠问题（解析版）

第一部分典例剖析

类型一折叠中求角度

1．（2022春•花都区期中）如图，对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，得到折痕EF，然后把△ADH

再对折到△DHG，使得点A落在EF上且与点G重合，则∠HDG为（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

思路引领：由折叠的性质可得DG＝AD＝AG，可得△ADG是等边三角形，即可求∠ADG＝60°，即可

求解．

解：如图，连接AG，

∵对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，

∴AE＝DE，EF⊥AD

∴DG＝AG，

∵把△ADH再对折到△DHG

∴AD＝DG，∠ADH＝∠GDH

∴AD＝DG＝AG，

∴△ADG是等边三角形

∴∠ADG＝60°

∴∠HDG＝30°

故选：A．

总结提升：本题考查了翻折变换，矩形的性质，证明△ADG是等边三角形是本题的关键．

2．（2022春•石家庄期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若

将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）

A．70°B．65°C．30°D．60°

思路引领：依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB＝60°．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A＝90°，

∴∠BEF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝120°，

∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF＝∠FEB＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB＝60°，

故选：D．

总结提升：本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关

键．

类型二折叠中求线段的长

3．（2019春•泰山区期中）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O

折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1.5，则CN的长为（）

A．3.5B．4.5C．5.5D．6.5

11

思路引领：连接AC、BD，利用菱形的性质得OC=AC＝3，OD=BD＝4，∠COD＝90°，再利用勾

22

股定理计算出CD＝5，由ASA证得△OBM≌△ODN得到DN＝BM，然后根据折叠的性质得BM＝BM＝

1.5，则DN＝1.5，即可得出结果．

解：连接AC、BD，如图，

∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，

11

∴OC=AC＝3，OB＝OD=BD＝4，∠COD＝90°，

22

在Rt△COD中，CD=2+2=32+42=5，

∵AB∥CD，

∴∠MBO＝∠NDO，

在△OBM和△ODN中，

∠=∠

=，

∠=∠

∴△OBM≌△ODN（ASA），

∴DN＝BM，

∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，

∴BM＝BM＝1.5，

∴DN＝1.5，

∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1.5＝3.5，

故选：A．

总结提升：本题考查了折叠的性质、菱形