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高等数学的学习方法与意义

摘要：高数本来就是解决难题的。而难题本来就是不是留给生活而是留给

以推理为乐的思维游戏的。它是测量人类思维强度的直尺，是人类高等的

证明。高等数学就是种高于生活的艺术，艺术对很多人来说是可有可无的，

但是却能给追求艺术的人无限的乐观和活着的动力。当然从实际角度说，

高数在科学研究领域发挥的作用是巨大的，数学的最大功能就是建模，它

能把实际问题理论化用数学工具进行分析，或者为一些发展现象提供模型

以预测未来的变化趋势，从而避免了反复试验的麻烦和困难。

关键词：极限，牛顿与莱布尼茨，微积分

大家都知道大学高数是一门挂科率很高的课，而高数又很难，尤其对从小

到大数学就不好，算数不对，逻辑思维混乱，学了十多年数学，榆木脑袋

却怎么都不开窍！高考数学更是拉了后腿，让我来到一个普通的大学！于

是大一的时候，我下决心一定不能让高数挂科！下面我就讲一讲我是怎么

学习高数的，按照我的方法相信数学再差的人都可以考得很好！我觉得就

如高数上课时分大课和习题课，学习高数的过程也应该分成两部分吧。但

在介绍这两部分以前，我想强调一些基础性的东西，这个对于入门微积分

很重要。

那就是应该做好衔接的准备，尤其是高中时期数学薄弱的同学，在没学排

列组合，二项式定理，柯西不等式的情况下更是如此。很多高中学弟学妹

在刚进入大学时都会和我抱怨理。当然，这与理科数学的学习面和难度很

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有关系。比如，高中的复合函数求导，定积分，微积分基本定理，柯西不

等式等知识都是高数的研究内容。学习微积分开头时确实会有些难度，这

与高中知识不牢固，不等式变换能力还没形成有很大关系。所以我建议大

学新生复习一下高中的三角函数的变换，如和差化积，积化和差，万能公

式，一些简单的不等式(如|sinx|≤|x|)，取整函数的性质，数列的求和，

反三角函数的一些性质，图像，公式等等，对你肯定有帮助的。而这也是

国内大多数教材不太考虑的问题。在这里我推荐一下张宇的《考研数学十

八讲》中的第一讲内容。另外高中数学《五年高考三年模拟》与你的独家

笔记本别丢了，没事可以看看。也许未来你站在微积分，线代等比较高的

层面来看这些知识会有不一样的体验。以上是衔接内容，接下来是两方面

的分析。

首先，是理论方面的。

第一步，你需要开头时搞清楚整个高等数学或者数学分析的理论框架结构。

学数学切忌在一个死胡同里死缠烂打，钻牛角尖。你应该在开始

系统学习之前，看看目录，在草图上画下一个框架结构，例如高

等数学就可以分成一元函数微积分，多元函数微积分，级数与常

微分方程(差分方程)。然后在这四个系统下，又可以细分，例如

一元函数微积分可以分为实数理论，极限与连续，导数与微分，

中值定理与导数应用，不定积分，黎曼积分等。一层层分类你哪

怕不过只记得一个名称都好，这样一来你可以随时了解自己的学

习进度，合理安排，二来可以在高维度往下看，“一览众山小”。

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第二步就是搞清楚概念。

为了增加趣味性，了解数学的来龙去脉，你不妨配上一本《数学

史》，就当课后读物了。例如，从牛顿与莱布尼茨的微积分开始，

到柯西黎曼威尔斯特拉斯等等的数学发展过程。我们一面可以看

到一代代先辈们创业不易，另一面也可了解到我们在学习微积分

的同时，也是与历史上最优秀的一群人对话呢！

然后注重概念的理解。比如最最基础且重要的极限，这可以说是

微积分的敲门砖，不管是导数，微分，还是黎曼积分，都是建立

在这个基础上的。记得在闫浩老师的习题课上就围绕着这一概念

提出了几个等价命题让你判别。又例如函数的拐点的定义写道“函

数曲线上”这就说明了没有定义的点就不可能是拐点。然后一定

要对定理的推理证明过程与它们之间的关系有明晰的认识，在这

里我以实数的完备性为例。定理主要有以下几个：确界存在定理、

单调有界定理、、柯西收敛准则。你要明白它们之间的关系，能做

到独立推理出来。例如区间套定理推出其他