专题25二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【江苏专用】.pdf

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题25二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题

【方法指导】

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：

（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”

的方法．

（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

（4）同底三角形的面积比等于高的比．

（5）同高三角形的面积比等于底的比．

【题型剖析】

【例1】如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二

象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；

（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设

正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；

（2）过点D作DM∥y轴，交AC于点M，求出M点的坐标，根据S△ACD＝S△ADM+S△CDM可求出答案；

（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并

由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：

①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的

标．

②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的

标．

1111

（4）分四种不同情况：当0≤t≤1时，当1＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜≤4时，画出图形，由

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直角三角形的性质及相似三角形的性质求出图形的面积可求出答案．

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【解析】（1）设抛物线解析式为：y＝ax+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：

9―3+=0

++=0，

=3

=―1

解得：=―2，

=3

故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．

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由于y＝﹣x﹣2x+3＝﹣（x+1）+4，

所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；

（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），

过点D作DM∥y轴，交AC于点M，

∵AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为（﹣1，2），则DM＝2，

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∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM=×2×2+×2×1＝3．