专题25二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（原卷版）【江苏专用】.pdf

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题25二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题

【方法指导】

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：

（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”

的方法．

（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

（4）同底三角形的面积比等于高的比．

（5）同高三角形的面积比等于底的比．

【题型剖析】

【例1】]如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二

象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．

（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；

（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；

（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；

（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设

正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．

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【变式训练】如图，抛物线y=―x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC＝4．

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（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，

求S与t的函数关系式；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，

求点M的坐标．

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【例2】如图（1），抛物线y＝ax+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线

BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M

的坐标；

（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S

△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B

（﹣2，n），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若

OP′＝OP，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

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【例3】如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式