重难点02：充分必要条件的综合考查-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）（解析版）.docx

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重难点02：充分必要条件的综合考查

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.总方针

①定义法：若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．

②集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A?B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A?B，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．

2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量）

①向量数量积的坐标表示

（1）已知两个非零向量，，

（2）设，则或

（3）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．

②平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量，则，即，或．

③三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

，，

若则A，B，C三点共线．

④向量在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件

（3）求夹角问题，利用

（4）求线段的长度，可以利用或

3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面）

①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》

②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》

③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》

④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》

⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》

4.充分必要条件涉及知识点3（不等式）

①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，符号语言：，.

(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)

(4)可乘性：ab，(5)可加法则：

(6)可乘法则：(7)可乘方性：

(8)或

5.充分必要条件涉及知识点4（数列）

（1）等差数列中，公差为，则

①若，且，则，特别地，当时．

②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．

③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．

④仍是等差数列．

⑤数列（为非零常数）也是等差数列．

（2）设等比数列的公比为

①若，且，则，特别地，当时．

②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．

③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；

④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．

6.充分必要条件涉及知识点5（直线与圆）

已知

且或，记忆式（）

与重合，，，

7.充分必要条件涉及知识点6（常规不等式）

1.一元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）=1\*GB3①若，解集为.

=2\*GB3②若，解集为.=3\*GB3③若，解集为.

(2)当时，二次函数图象开口向下.=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为

2、分式不等式

（1）（2）（3）

（4）

3、绝对值不等式

（1）（2）；

；

8.充分必要条件涉及知识点7（三角函数）

(1)平方关系：．

(2)商数关系：；

(3)奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可

(4)两角和与差的正余弦与正切

①；②；③；(5)二倍角公式

①；②；③；

(6)降次（幂）公式：

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【题型训练-刷模拟】

1．已知向量，，则（????）

A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件

C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件

【答案】B

【分析】由向量平行和垂直的条件计算即可.

【详解】若，则，解得；

若，则，解得或；

所以ACD错误，B正确.

故选：B.

2．已知：，那么命题的一个充分不必要条件是（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解不等式，得到不等式的解，利用集合之间的关系判断充分必要性，得到结果.

【详解】，，：，运用集合的知识易知，

中是的充要条件；

中是的必要不充分条件；

中是的充分必要条件条件；

中是的既不充分也不必要条件.

故选：.

3．已知，都是实数，则“”是“”的（???