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高中数学：反函数的性质及应用

性质1：原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域

在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如

能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

例1.函数的反函数是（）

A.

B.

C.

D.

解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。

由函数解析式可知当时，；时。由性质1，可知原函

数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两

项，再比较C、D，易得答案为C。

例2.若函数为函数的反函数，则的值域为

________。

解析：常规方法是先求出的反函数，再求得

的值域为。如利用性质1，的值域即的定义域，可得

的值域为。

性质2：若是函数的反函数，则有。

从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关

于直线对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点，则其

反函数必过点。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中

却有着广泛的应用。

例3.函数的反函数的图象与轴交于点P（0，2），

如下图所示，则方程在[1，4]上的根是（）

A.4

B.3

C.2

D.1

解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，的图象

与轴交于点P（0，2），可得原函数的图象与轴交于点（2，

0），即，所以的根为，应选C。

例4.设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，

=0，则=_________。

解析：由=0，可知函数的图象过点（4，0），而点（4，

0）关于点（1，2）的对称点为（，4）。由题意知点（，4）也

在函数的图象上，即有，根据性质2，可得。

性质3：单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一

致。

在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函

数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如

函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数。

例5.函数=在区间上存在反函数的充要条件是

（）

A.

B.

C.

D.

解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但

在其定义域的子区间或上是单调函数，而已知函数在

区间上存在反函数，所以