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利用定积分证明数列和型不等式
我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等
式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.
其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下
面举例说明供参考.
一、(为常数)型
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例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证
.
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分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比
这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令
人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则
可考虑用定积分的几何意义求解.
证明构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函
数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
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图1
即，
因为，所以.
所以.
例2求证.
证明构造函数，又，
而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和
小于曲边梯形的面积，
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图2
即，
所以.
例3证明。
证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可
知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
图3
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即
.
所以.
二、型
例4若，求证:.
证明不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的
前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数
列的通项不等式成立即可.
构造函数
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