（浙江版）高考数学复习： 专题9.3 圆的方程（讲）.docVIP

专题9.3圆的方程

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

圆的方程

掌握圆的标准方程与一般方程.

2016?浙江文,10.

1.考查圆的标准方程、普通方程的互化..

2.待定系数法求圆的方程．

3.圆的综合问题.

4.备考重点：

(1)掌握两种形式圆的方程；

(2)掌握待定系数法.

【知识清单】

1求圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．

(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2)对方程：.

①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；

②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C的位置关系

(1)|AC|r?点A在圆内?；

(2)|AC|＝r?点A在圆上?；

(3)|AC|r?点A在圆外?.

对点练习：

【2016高考浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.

【答案】；5．

2圆的方程综合应用

1.圆的标准方程为：

2．圆的一般方程．：（）.

3.点到直线的距离：.

对点练习：

【2017天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为.

【答案】

【解析】

【考点深度剖析】

高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.

【重点难点突破】

考点1求圆的方程

【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【1-2】已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．

【答案】

【解析】

（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：，则由题意得：

.

②－①得：…………④⑤⑥

③－④得：，代入④得：.

将代入①得：.

所以所求圆的标准方程为：.

法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为：.

因为圆心在上，所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心.

解方程组得，所以圆心为.

圆的半径，

所以所求圆的标准方程为：.

【1-3】的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．

【答案】

【领悟技法】

1.求圆的方程，采用待定系数法：

①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．

②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上．

【触类旁通】

【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为

（2，-2），半径为1，所以圆为，故选B.

【变式二】求圆心在直线上，且过点的圆的方程．

【答案】

解方程组得，所以圆心为.

圆的半径，

所以所求圆的标准方程为：．

【综合点评】

求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．

考点2圆的方程综合应用

【2-1】【2017届辽宁省辽南协作校一模】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（）

A.18B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】圆的方程即：，

圆心到直线的距离为：，

故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为，

综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是.

本题选择C选项.

【2-2】在圆上移动，试求的最小值．

【答案】

【解析】由已知得，则，即()min.所以的最小值为.

【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．