专题15三角形之“8”字模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.pdfVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题15三角形之“8”字模型

解题策略

模型1：角的8字模型

A

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

D

O

BC

模型2边的“8”字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BDAD+BC．

A

D

O

BC

模型分析

∵OA+ODAD①，OB+OCBC②，由①+②得：OA+OD+OB+OCBC+AD

即：AC+BDAD+BC.

经典例题

【例1】（2021•西湖区校级三模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线

于点A，AE＝CE．

（1）求证：△ADE≌△CFE；

（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的长．

【例2】（2021秋•阜阳月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接

BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．

（1）求证：BD＝CE．

（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．

（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．

【例3】（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题：

【材料提出】

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．

【探索研究】

探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；

探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为；

探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D

之间的数量关系为．

【模型应用】

应用一：如图4，延BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，

四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝（用含有α和β

的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）

应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角

∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B

之间的数量关系为．（用x、y表示∠P）

拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接

写出结论．

【例4】（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样

的图形称为“8字型”．

（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．

利用以上结论解决下列问题：

（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+