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专题26垂径定理
基础知识回顾
垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
模型的概述:
C
在⊙O中,AB为⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于点E,则
CE=CE⌒=⌒⌒=⌒
BCBDACAD
证明(思路):如图,连接OC、OD,则OC=ODAOEB
∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°
D
∴∆OED≌∆OEC(HL)∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴⌒=⌒
BCBD
∵AB为⊙O的直径∴⌒=⌒∴⌒=⌒
ACBADBACAD
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:
(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,
那么可推出其中三个,解题过程中应灵活运用该定理。
【口诀】
垂径定理五条件,一个垂直三平分;一条直线过圆心,知二明三把理明;平分弦时要谨慎,此弦不可为直
径;两条直径都平分,哪能啥时都垂直。
【解题技巧】见弦常作弦心距,连接半径,构造直角三角形用勾股定理求解。
【培优过关练】
12022O7ABOPABPA4PB
.(年安徽省中考数学真题)已知⊙的半径为,是⊙的弦,点在弦上.若=,=
6,则OP=()
A.14B.4C.23D.5
2.(2022年四川省泸州市中考数学真题)如图,AB是eO的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长
线交eO于点E.若AC=42,DE=4,则BC的长是()
A.1B.2C.2D.4
32022eOCD=10ABeOAB^CDM
.(年黑龙江省牡丹江市中考数学真题)的直径,是的弦,,垂足为,
OM:OC=3:5AC______
,则的长为.
4.(2022年青海省中考数学真题)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如
CeOABCDOeODCD=6meO
果是中弦的中点,经过圆心交于点,并且AB=4m,,则的半径长为
______m.
52022ABCeOOC^ABDD
.(年湖南省长沙市中考数学真题)如图,、、是上的点,,垂足为点,且为
OCOA=7BC___________
的中点,若,则的长为.
62022
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