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专题26垂径定理

基础知识回顾

垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

模型的概述：

C

在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则

CE=CE⌒=⌒⌒=⌒

BCBDACAD

证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=ODAOEB

∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°

D

∴∆OED≌∆OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴⌒=⌒

BCBD

∵AB为⊙O的直径∴⌒=⌒∴⌒=⌒

ACBADBACAD

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，

那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。

【口诀】

垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直

径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。

【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。

【培优过关练】

12022O7ABOPABPA4PB

．（年安徽省中考数学真题）已知⊙的半径为，是⊙的弦，点在弦上．若＝，＝

6，则OP＝（）

A．14B．4C．23D．5

2．（2022年四川省泸州市中考数学真题）如图，AB是eO的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长

线交eO于点E．若AC=42，DE=4，则BC的长是（）

A．1B．2C．2D．4

32022eOCD=10ABeOAB^CDM

．（年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，是的弦，，垂足为，

OM:OC=3:5AC______

，则的长为．

4．（2022年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如

CeOABCDOeODCD=6meO

果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且AB=4m，，则的半径长为

______m．

52022ABCeOOC^ABDD

．（年湖南省长沙市中考数学真题）如图，、、是上的点，，垂足为点，且为

OCOA=7BC___________

的中点，若，则的长为．

62022