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《第一章立体几何初步》试卷(答案在后面)
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=5，则长方体的体积V为：
A.60
B.72
C.36
D.48
2、在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(-1,1,0)，点C(0,1,2)。下列结论正确的是（）
A.AB=BC
B.AC=BD
C.BC垂直于平面ABC
D.AC垂直于平面BCD
3、已知一个正方体的对角线长为54，那么该正方体的体积为（）
A.27
B.36
C.48
D.54
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上的一点，若AB=2，AE=1，则三棱锥E-ABC的体积为：
A.1
B.0.5
C.2
D.3
5、已知正方体的一个顶点为A，其相邻的三个顶点分别为B、C、D，那么ABCD四点构成的四边形的形状是：
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
6、已知长方体的三个相邻棱长分别为a、b、c，且a=2b，b=3c，那么长方体的体积V为：
A.18abc
B.6abc
C.12abc
D.24abc
7、在正方体的一个顶点处，三条互相垂直的棱分别长为a、b、c，则该顶点处的体积为（）
A.1/6abcB.1/3abcC.abcD.3abc
8、在正方体的一个顶点上，有3条棱相交，这三条棱所形成的角是：
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、已知正方体的一个顶点为A，与之相邻的三个顶点分别为B、C、D，且AB=BC=CD=AD，那么该正方体的体对角线AC的长度为：
A.2
B.3
C.6
D.2
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱AB的中点，点Q是棱A1D1的中点，若∠B1PQ=60°，则正方体的棱长为（）
A.2√3
B.2
C.√3
D.√2
3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点，点F为棱CC1的中点，下列命题正确的是：
A.线段EF平行于平面ADD1A1
B.线段EF垂直于平面ABCD
C.线段EF垂直于线段DD1
D.线段EF垂直于线段BC
三、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
第一题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，点F为棱DD1的中点。
（1）求证：EF平行于平面BCD1；
（2）求三棱锥A1-BCD1的体积。
第二题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，点E是棱BB1的中点，点F是棱AA1的中点。
（1）求证：平面BEF⊥平面ADD1A1；
（2）求三棱锥F-ABD的体积。
第三题：
已知正四面体ABCD的棱长为2，点E为棱AB上的点，且AE：AB=1：3。求异面直线CD与BE所成角的余弦值。
四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）
第一题：
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一个边长为a的正方形，且AA1=b。求证：长方体的对角线AC1与平面ABCD垂直。
第二题：
已知正方体的边长为a，求其体积V。
第三题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CD=AA1=2，E为BC边的中点，F为DD1与BC1的交点。
（1）求证：EF垂直于平面ADD1A1；
（2）求异面直线A1D与BC的距离。
第四题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求证：对角线A1C1的长度是体对角线AC长度的平方根。
第五题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，点F为棱AB的中点。
（1）求证：AF⊥平面ECD1；
（2）求证：平面ECD1⊥平面BB1D1D；
（3）求CD1与平面ECD1的夹角θ，并给出夹角θ的取值范围。
《第一章立体几何初步》试卷及答案
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=5，则长方体的体积V为：
A.60
B.72
C.36
D.48
答案：A
解析：长方体的体积V可以通过长、宽、高相乘得到。在这个长方体中，长为AB，宽为BC，高为AA1。因此，V=AB×BC×AA1=3×4×5=60。所以答案是A。
2、在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(-1,1,0)，点C(0,1,2)。下列结论正确的是（）
A.AB=BC
B.AC=BD
C.BC垂直于平面ABC
D.AC垂直于平面BCD
答案：C
解析：首先计算向量AB和向量BC。
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