专题25 圆与相似综合题（解析版）.pdf

专题25圆与相似综合题

1Rt△ABCACB90°DACBCDOABE

．如图，在中，∠＝，是上一点，过，，三点的⊙交于点，

EDECFAEFDFDEDCE

连结，，点是线段上的一点，连结，其中∠＝∠．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)DCBC4DE2EFDF

若＝＝，＝，求的长．

(1)

【答案】见解析

(2)22

1BDBDOBCEBDEBDE+FDE90°

【分析】（）连接，由题意证得是⊙的直径，∠＝∠，则∠∠＝，

结论得证；

DEEF

2BD△FDEFBD=

（）由勾股定理求出的长，证明∽△，由相似三角形的性质得出，则可

BDDF

得出答案．

1

（）

证明：连接BD，

ACB90°BDO

∵∠＝，点，在⊙上，

BDOBCEBDE

∴是⊙的直径，∠＝∠，

FDEDCEBCE+DCEACB90°

∵∠＝∠，∠∠＝∠＝，

BDE+FDE90°

∴∠∠＝，

BDF90°

即∠＝，

DFBD

∴⊥，

又∵BD是⊙O的直径，

DFO

∴是⊙的切线．

2

（）

BCD90°DCBC4

解：∵∠＝，＝＝，

BD2222

∴=DC+BC=4+4=42，

FDEDCEDCEDBE

∵∠＝∠，∠＝∠，

FDEDBE

∴∠＝∠，

DEFBDF90°

∵∠＝∠＝，

FDEFBD

∴△∽△，

DEEF

∴=，

BDDF

又∵DE＝2EF，

2EFEF

∴=，

42DF

DF2

∴＝2．

【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，解答

本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．

2O△ABDABCADOCBCAD

．如图，⊙是的外接圆，为直径．点是弧的中点，连接，分别交于

EF

点，．

(1)求证：∠CAD＝∠CBA；

(2)AB10BC8OE

若＝，＝，求的长．

(1)

【答案】见解析

(2)1.4