高等数学数值函数多重积分.pptVIP

1.概念、类型与性质

2.二重积分

3.三重积分

4.型曲线与曲面积分

5.在几何与物理方面的典型应用

7.1多元数值函数的积分

-概念、类型与性质

1.引例-概念抽象-多元函数积分定义

2.多元数值函数积分的基本类型

3.可积条件与积分基本性质

1.引例-概念抽象-多元函数积分定义

我们已经知道，一元函数定积分的产生，是与很多

现实问题密切相关的。

但是一元函数的定义域仅仅是一维的，而我们的世

界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。

因此不难想到，在现实世界中，多元函数所应用的

范围更广。而类似定积分的方法，在高维情况下肯定

有十分广泛的用途。

即便是不知道多元函数积分的概念，仅从一元函

数定积分的定义和应用，是否可以想到有什么问题

可能会用到多元函数的积分方法呢？

举几个例子。

（1）一个引例

【例7-1】（求平面薄板的质量问题）设一质量非均匀分

布的薄板，将其置于xOy平面上，它所占有的区域为D

(图7-1),在D上任一点P(x,y)处的面密度为f(P)f(x,y),

这里f(x,y)0且在D上连续.

把区域任意分划为个小区y

Dn

i

域i(i=1,2,…,n)，i同时表示

该小区域的面积由于fxy连D

.(,)(i,i)

续，因此薄板在每个小区域上的Ox

（图7-1）

质量可以近似的看做均匀分布.

在每个i上任取一点(i,i)，则该小区域质量的近

似值为，整个薄板质量的近似值为

mif(i,i)im

nn

mmif(i,i)i

i1i1

的直径

记dmax{i}，所谓i的直径指的是i

1in

上任意两点间距离的上确界.当d→0时，每个i的面积

将趋于零，并且小区域的数目无限增大，上述近似值

就无限接近薄板的实际质量.因此可以把上面和式的极

限规定为薄板的质量，即

n

mlimf(i,i)i（1）

d0i1

（2）讨论上面例子

假设上面例子中的物质对象，不是一张平放的薄板。

而是如下几种情况：

一条平直的细丝；

一块立体（区域）；

一条可以放在平面上的弯曲细丝；

一条在空间中弯曲的细丝；

一片空间中的曲面。

同样假设知道物质的密度函数，求其整体质量，应该

怎样做？

（3）多元数值函数积分的定义

（i）符号与辅助概念约定：

、：根据具体情况表示某空间中的闭集。在实

i

数集中表示一个闭区间；在平面中可以是平面曲线，

也可以是一个闭区域；在三维空间中，可以表示空间

曲线、曲面、三维闭区域。

：表示闭集合的“度量”（或“体积”）

-对于曲线（也包括直线），表示长度；

-对于曲面（包括平面），表示面积；

-对于立体区域，表示体积（设是可度量的）。

注：在教材中，i即表示小区域（或闭集合）也表示

该区域（或闭集合）的度量（长度、面积、体积）。

尽管这样规定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。

d()，d(i)：分别表示区域和i的直径。其

d中(A)sup{xy|x,yA}

若A是有界闭区域，d(A)是A内任意两点距离中最大者。



的有限分划：设有有限个闭集i(i