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《指数运算与指数函数》核心素养梳理

知识网络建构

核心素养梳理

一、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等数学运算是解决数学问题的基本手段数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.

本章中有关指数式的求值、化简与证明，求函数的定义域、值域，研究单调性问题，解含有指数式的不等式、方程等问题都体现了数学运算的核心素养.

例1计算（化简）下列各式：

（1）；

（2）.

解析（1）把小数化为分数指数幂的形式，分数化为指数幂的形式，然后用指数幂的运算性质进行化简求值.

（2）先通分，分子利用完全平方公式展开，分母利用平方差公式.

答案（1）原式

.

（2）原式.

例2函数的定义域是（）

A.

B.

C.

D.

解析要使函数有意义，x必须满足解得.

答案B

二、直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程.直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，表现在能利用图形探索和解决数学问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素直观想象是数学核心素养之一，体现了数形结合的重要思想.

本章中利用函数图象解不等式，利用函数图象比较数与式子的大小，均体现了直观想象的核心素养.

例3当时，和的图象只能是下图中的（）

A.

B.

C.

D.

解析当时，的图象从左到右呈上升趋势，的图象为开口向上的抛物线.

答案A

例4指数函数①，②满足不等式，则它们的图象是图中的（）

A.

B.

C.

D.

解析由可知①，②应为两条递减的曲线，故只可能是C或D，再判断①，②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令，①，②对应的函数值分别为m和n，由可知应选C.

答案C

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.

本章中比较两个式子的大小，判断和证明函数的单调性和奇偶性，均体现了逻辑推理的核心素养.

例5设是定义在实数集R上的函数，满足条件：是偶函数，且当时，，则的大小关系是（）

A.

B.

C.

D.

解析是偶函数，图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线.又时，.在上是增函数，在上是减函数，，且，即.

答案D

例6已知函数，其中，函数是定义域为R的奇函数，且当时，.

（1）求的解析式；

（2）求证：函数在上单调递增.

解析（1）利用奇函数的性质，不要漏掉的情况.（2）利用单调性的定义证明单调性.

答案（1）为奇函数，

（2）证明：设，

则

.

.

，

即，

，即.

函数在上单调递增.

同理可证，函数在上单调递增.

又当时，，当时，，

在上，任取，有，

在上单调递增.

四、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.

数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.

本章主要通过建立指数函数模型解决实际问题，构建函数模型解决实际问题，体现了数学建模的核心素养.

例7某食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（为常数），该食品在0℃的保鲜时间为192h，在16℃的保鲜时间是12h，若要使该食品的保鲜时间至少是96h，则储存温度x最大不能高于_________℃.

解析（为常数）.

当时，，

当时，，

，

即.

若，则，

即，即.

，

则，即储存温度x最大不能高于4℃.

答案4