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线性代数大学试题及答案

###线性代数大学试题及答案

####一、选择题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A是3阶方阵，且|A|=5，下列哪个矩阵是A的伴随矩阵？

A.[1,2,3]

[4,5,6]

[7,8,9]

B.[1,4,7]

[2,5,8]

[3,6,9]

C.[1,2,3]

[2,5,8]

[3,6,5]

D.[1,2,3]

[4,5,7]

[5,6,8]

2.向量组的线性相关性是指：

A.向量组中至少有一个向量是0向量

B.向量组中存在不全为0的向量，使得它们线性组合为0向量

C.向量组中任意向量都是其他向量的线性组合

D.向量组中任意向量都不是其他向量的线性组合

3.矩阵的特征值是指：

A.矩阵的对角线上的元素

B.方阵A的非零解x满足Ax=λx的λ

C.矩阵的行列式

D.矩阵的迹

...（此处省略其他选择题）

####二、简答题（每题10分，共20分）

1.解释什么是线性空间，并给出一个不是线性空间的例子。

2.说明什么是矩阵的秩，并解释如何计算一个矩阵的秩。

####三、计算题（每题15分，共30分）

1.给定矩阵A：

```

[2,1,1]

[1,3,1]

[1,1,2]

```

计算矩阵A的行列式，并判断矩阵A是否可逆。

2.已知向量v1=(1,2,3)^T和v2=(4,5,6)^T，求这两个向量

的点积。

####四、证明题（每题15分，共20分）

1.证明如果矩阵A和矩阵B可交换，即AB=BA，则矩阵A和B的特

征值可以同时对角化。

2.证明线性变换的核与像的维数之和等于定义域的维数。

####五、应用题（每题15分，共10分）

1.某公司有三种产品，其成本和售价如下表所示：

|产品|成本|售价|

||||

|A|10|15|

|B|20|30|

|C|5|10|

公司希望最大化利润，且每种产品的销售量不超过其成本的两倍。

请建立线性规划模型，并求出最优解。

答案：

####一、选择题

1.正确答案：D

2.正确答案：B

3.正确答案：B

...（此处省略其他选择题答案）

####二、简答题

1.线性空间是满足加法和标量乘法封闭性、加法交换律和结合律、存

在加法单位元和每个元素都有加法逆元的集合。一个不是线性空间的

例子是所有具有实数系数的多项式集合，因为多项式乘法不满足封闭

性。

2.矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目，可以通过

高斯消元法计算得到。

####三、计算题

1.矩阵A的行列式为2，因此矩阵A是可逆的。

2.向量v1和v2的点积为：1*4+2*5+3*6=32。

####四、证明题

1.证明略。

2.证明略。

####五、应用题

1.建立线性规划模型，设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的销售量。

目标函数为最大化利润：P=5x1+10x2+5x3。约束条件为：

```

x1≤20

x2≤40

x3≤10

x1,x2,x3≥0

```

通过图形法或单纯形法求解，得到