高中数学-艺考生专题讲义22 单调性的分类讨论.pdfVIP

考点22导数与函数的单调性

知识梳理

讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；

(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，

由符号确定f(x)在该区间上的单调性．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

精讲精练

题型一定义域为R

1-1f(x)xexa1ex1.f(x)

【例】设函数求函数的单调区间。

【答案】(1)f(x)的减区间为(,a1)，增区间为(a1,)，

【解析】f(x)的定义域为(,)，∵f(x)(x1a)ex，

当x(,a1)时，f(x)0，f(x)为减函数；

当x(a1,)时，f(x)0，f(x)为增函数，

故f(x)的减区间为(,a1)，增区间为(a1,)，极小值为f(a1)a1ea1。

13(a1)2

1-2fxxxaxfx

【例】已知函数，讨论函数的单调性；

32

【答案】见解析

13(a1)2

【解析】因为fxxxax，



32

2

所以f(x)x(a1)xa0.



令f(x)0，解得xa或x1.



若a1，当fx0即或xa时，

x1

故函数f(x)的单调递增区间为,1,a,；



当fx0即时，故函数f(x)的单调递减区间为1,a.

1xa

若a1，则22，

f(x)x2x1(x1)0

当且仅当x1时取等号，故函数f(x)在,上是增函数.



若a1，当f(x)0即xa或x1时，

故函数f(x)的单调递增区间为,a,1,；



当f(x)0即ax1时，故函数f(x)的单调递减区间为a,1.

综上，a1时，函数f(x)单调递增区间为(,1),(a,+)，单调递减区间为(1,a)；

a1时，函数f(x)单调递增区间为(,)；

a1时，函数f(x)单调递增区间为(,a),(1,+)，单调递减区间为(a,1).

【举一反三】

1.已知函数fxaxex判断函数fx的单调性。



【答案】见解析

【解析】由题意可求，f