高中数学-艺考生专题讲义29 平面向量.pdfVIP

考点29平面向量

知识梳理

1．向量的有关概念

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ABAB

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||.

(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一

直线上．规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

2.向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．

(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

3.向量的减法

(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

(2)法则：三角形法则．

(3)运算律：a－b＝a＋(－b)

4.向量的数乘

(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a；②当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．

5.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

注意：两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量．

向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点重合，和向量由第

一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重合，指向被减”，即作向量减法时，将

两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点．

平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同．

6．平面向量基本定理

如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ、λ，使a＝λe

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＋λe.

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我们把不共线的向量e，e叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．

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一个平面向量a能用一组基底e，e表示，即a＝λe＋λe.则称它为向量的分解。当e，e互相垂直时，就称为向量

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的正交分解。

7．平面向量的坐标运算

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(1)设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)，|AB|＝x－x＋y－y.

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(2)设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋x，y＋y)，a－b＝(x－x，y－y)，

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