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§2.3邻域与邻域系我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．定义2.3.1设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈VU则称U是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，称U是点x的一个开邻域．
定理2.3.1拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．
定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．定理2.3.2设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)VV，则V∈；U和(b)对于任何y∈V，有V∈．
我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点x∈X，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P）中的邻域系．
现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．
这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f(x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．
以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．
作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．
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