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定积分不等式的证明方法

【摘要】高等数学中定积分不等式的证明,难度都比较大,涉及的知识面广泛,

计巧性比较强,但又十分的重要。因而它是学习“高等数学”的重点和难点。本文

介绍了定积分不等式的十二种常用证明方法,加深对定积分不等式证明的理解。

【关键词】分部积分法积分中值定理凹凸性变限积分变量代换法

1.利用分部积分法。

析:分部积分证题法就是通过运用分部积分法公式(分部积分法公式:),并

结合运用其他方法以达到证明的目的。

例题1:设在上具有非负连续导数,求证对任意的自然数n有不等式

因为,故是单调增函数,因而

故而:

小结:当见到积分不等式证明题时,首先考虑是否可以用分部积分法

来简化积分,特别是当含有时,更要慎重。

利用积分中值定理证明

例题2:设在上连续,证明:

证:由积分中值定理可知:存在使得

,然而,即

对等式两边取绝对值得:

3.利用泰勒公式证明。

析:当题设或者是题断中给出了被积函数二阶或者二阶以上导函数符号

时,一般可以采用泰勒公式证明有关积分不等式。

例题3:在上有二次可导,并且,证明:

证:将在处展为一阶泰勒公式,注意到,所以有:

对上式两边同时求定积分可得:

4.利用凹凸性证明。

析:当题中含有或者时,可以考虑是否可以利用图形的凹凸性来证明。

例题4:设在上有二阶导数,并且,证明:

证:因为,故是单调增函数,进而可知在上是凹的,因在上,有。

故:

对上式两边同时求积分可得:

5.利用变限积分证明。

析:利用变限积分证明积分不等式是一种行之有效的方法,特别是在当已

知了被积函数导数性质的积分不等式,为了能够借助求导法证明,常常引入变限积

分来证明。

例题5:设证明

证:先证明左边

因为,故而当时有

证明右边:引入变限积分

,归结证明,事实上

再由拉格朗日中值定理可以得到:

因,故是单调增函数。而,故。

因而,于是在上单调增函数,即

所以:

6.利用二次三项式的判别式的性质证明。

析:在做证明题的时候,对于非负(正)或者恒负(正)的实二次三项式,常常

利用其判别式来证明积分不等式

例题6:设在上连续,证:

且等号仅当或时成立(c为常数)

证:令,则:两边同时平方后,在同时对两边求积分,可得

显然可知上式右边为一个关于的非负的实二次三项式,其判别式为,即:

故:

7.利用被积函数所满足的不等式证明。

析:当被积函数的积分区间相同时,可以首先考虑被积函数是否满足一定

的不等式关系,再利用定积分的不等式性质(如:估值性质,绝对值函数积分的不等

式性质,比较性质等)证明。

例题7:证明:

证:因为被积区间是,即,令

故:

8.利用变量代换法证明。

析:注意当被积分区间长为π的函数,且被积函数含有三角函数时,可以考

虑利用变量代换法证明。

例题8:证明:

证:令,则原式

此时在等式右端的第二个积分式子中令,则

原式变形为:

因为:,所以:

小结:变量代换法也就是换元法,对积分实施适当的变量替换,运用积分基

本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法,但要注意

在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化。

9.利用拉格朗日中值定理证明。

析:设在上连续,在内可导,则使得:

例题9:设在上连续,在内可导,并且,证明:

证:由题目中的以及一阶导数的有界性,便可以考虑使用拉格朗日中值定

理证明,由定理我们可知:

对上式的两端