（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第06讲 圆锥曲线中的中点弦问题（教师版）.docxVIP

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第06讲圆锥曲线中的中点弦问题

知识讲解

椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1(ab

双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py0

4.中点弦斜率拓展

在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=?b

5.椭圆其他斜率形式拓展

椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有

椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有

椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有

点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax

将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1a

化简可得y1+y2

【例1】已知椭圆＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

【例2】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．

【答案】

【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；

【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法

令的中点为，设，，利用点差法得到，

设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；

解：令的中点为，因为，所以，

设，，则，，

所以，即

所以，即，设直线，，，

令得，令得，即，，所以，

即，解得或（舍去），又，即，

解得或（舍去），所以直线，即；

故答案为：

[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，

设，，设直线，，，

则，，，因为，所以

联立直线AB与椭圆方程得消掉y得

其中，

∴AB中点E的横坐标,又，∴

∵，，∴,又，解得m=2

所以直线，即

【变式1】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.

【详解】设，则，两式作差得所以若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，

即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以解得，所以C的方程为故选：C

【变式2】已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用点差法可得，再利用重心的性质可得点，从而利用可得，即可求离心率.

【详解】设，的中点为，因为都在椭圆上，

所以，作差可得，即，

所以，即，因为，所以，

又因为为△BMN的重心，所以，所以，

则，所以，整理得，即，

所以，则，所以离心率.故选:A.

考点二、双曲线中的中点弦问题

【例1】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.

设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.

【例2】已知椭圆的离心率为，点在上

（1）求的方程

（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

【答案】（1）????（2