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研究生考试考研数学(一301)复习试卷及答案指导
一、选择题(本大题有10小题,每小题5分,共50分)
其中(x∈R)。则(f(x))的定义域为:
A.((-○,-)U(-1,0U(0,)U(1,+一))B.((-○,-1)U(-1,0)u[0,1]U[1,+∞))C.((-○,-1)U(-1,0U(0,)U(1,+○)U{0})
D.((-○,-1)U(-1,のU(0,)U(1,+∞)U{-1})答案:A
解析:函数(f(x)的分母为(x2+1),显然(x2+10)对所有实数(x)都成立,因此(f(x))的定义域为全体实数(R),即选项A。选项B、C和D都包含了不正确的点,如0或-1,它们不满足(x2+10)。
2、若函数)在区间(0,+○)上单调递增,则下列选项中正确的是:
答案:B解析:
B.-6
首先,我们需要求出函数)的导数。根据求导法则,我们有:
为了判断函数在区间(0,+○)上的单调性,我们需要判断导数f(x)的符号。由题意知,函数在区间(0,+∞)上单调递增,即f(x)0。
将f(x)代入不等式,得到:
移项得:
两边同时乘以x2(注意x0,所以x20),得到:
x1
这说明在区间(1,+○)上,函数f(x)单调递增。由于题目要求的是在区间(0,+○)上的单调递增,所以我们需要判断f(x)在x=1处的值。
将x=1代入f(x),得到:
因此,f(x)在x=1处等于0,而在区间(1,+0)上f(x)0。这说明函数在区间(0,I)上是单调递减的,而在区间(1,+∞)上是单调递增的。
综上所述,正确的选项是B.
3、设函数f(x)=x3-3x2+4x,若1存在且等于2,则1:的值为:
A.6
C.0
D.不存在答案:B
解析:
根据题意,
由洛必达法则可知:
又因为cos3x在x=0处的值为1,所以:
而f(x)=3x2-6x+4,所以:
的值为-6,故选B。
4、已知函数(f(x)=e×-x2)在(x=1)处取得极大值,求该函数的二阶导数在(x=1)
处的值。
A.(-2)
B.(-1)
C.(1)
D.(2
答案:B
解析:首先求出函数的一阶导数(f(x)=e-2x),然后令(f(1)=の得到(e-2=
の,解得(x=)符合题意。因此,(x=1)是函数(f(x))的一个极值点。接下来,求函数的二阶导数(f(x)=e-2),将(x=1代入得到(f(1)=e-2)。由于(e)的值约为
2.718,所以(f(1))的值约为0.718,与选项中最接近的是B.(-1),但由于(f(1))实际上是正数,因此正确答案为B.(-1)。这里答案选择错误,正确答案应为D.(2),
因为(f(x))在(x=1)处的值为(e1-2=2.718-2=0.718),四舍五入后为1,接近选
项C,但考虑到题目要求选择最接近的答案,所以应选D。5、设函数0),则下列结论正确的是:A.当x→0时,f(x)的极限不存在;
B.f(x)在(0,+∞)上单调递增;C.f(x)在x=1处取得最小值;D.当x→+○时,f(x)→0。
答案:B
解析:首先,我们考虑选项A,当x→0时,根据洛必达法则,我们有:
所以,选项A错误。
接下来,我们看选项B,考虑函数的导数:
当x0时,e0,因此e*(x-1)+10,所以f(x)0,这说明f(x)在(0,+○)
上单调递增,选项B正确。
对于选项C,虽然f(x)在x=1处可导且f(1)=0,但是因为f(x)在x=1处没有
极值,所以选项C错误。
最后,选项D,当x→+○时,e的增长速度远大于x2的增长速度,因此将趋于无穷大,所以选项D错误。
综上所述,正确答案是B。
6、已知函数(f(x)=x3-3x2+4x+1),若(f(x))的零点个数为(a),则(f(x)
的零点个数为:A.(a+1)
B.(a-1)C.(a)
D.与(a)无关答案:C
解析:
首先,对(f(x))求一阶导数,得到(f(x)=3x2-6x+4)。
接着,求(f(x))的
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