人教A版高中数学必修第二册同步讲练测 8.5 空间直线、平面的平行（教师版）.docx

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8.5空间直线、平面的平行（学案）

知识自测

知识自测

一．基本事实4

文字语言

平行于同一条直线的两条直线平行

图形语言

符号语言

直线a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c

作用

证明两条直线平行

说明

基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性

二．空间等角定理

1.定理

文字语言

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

符号语言

OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°

图形语言

作用

判断或证明两个角相等或互补

2.推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

三．直线与平面平行的判定定理

文字语言

如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行

符号语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α

图形语言

四．直线与平面平行的性质定理

文字语言

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行

符号语言

a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

图形语言

五．平面与平面平行的判定定理

文字语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β

图形语言

六．两个平面平行的性质定理

文字语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

图形语言

知识简用

知识简用

题型一直线与直线平行

【例1-1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（???）

A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直

【答案】C

【解析】如图，

连接AD1，CD1，AC，因为E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选：C

【例1-2】必修第二册实战演练第八章课时练习26直线与直线平行）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.

题型二等角定理

【例2-1】不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（????）

A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形

C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似

【答案】C

【解析】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.

故选：C

【例2-2】给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．

其中正确的命题有（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；对于③，如图所示，

BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．故选：B

题型三直线与平面平行

【例3-1】如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，

又因为E为的中点，所以是的中位线，所以，

又平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD.

（2）因为，

又平面，所以三棱锥的高为，∴.

【例3-2】正方体的边长为1，为正方形的中心．

(1)求证：直线平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）证明：连接交于点，连接，

因为且，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以直线平面．

（2）解：在棱长为的正方体中，可得平面，且，

其中的面积为，

又由，即三棱锥的体积．

【例3-3】如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC．

【解析】证明：连接BD，交MC于F，连接EF，在菱形ABCD中，

三角形BMF与三角形FCD相似，且相似比为1:2，