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中考数学二次函数压轴题之抛物线的

平移问题

如图1，抛物线G1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC＝3OA，

抛物线G1的顶点为G.

（1）求出抛物线G1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线G1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线G2，设G2

与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于0与

B之间），过点M作x轴的垂线分别交抛物线G1、G2于P、Q两点，是

否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三

角形相似？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴OC＝3OA=3，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得：

∴抛物线G1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点G的坐标为（1，4）．

（2）设抛物线G2的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣（x﹣1）2+4﹣

k，

过点G′作GD⊥x轴于点D，设B′D＝m，

∵△ABG为等边三角形，

∴GD=√3BD=√3m，则点B的坐标为（m+1，0），点G的坐标为

（1，√3m），

将点B、G的坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

∴k＝1；

（3）设M（a，0），则P（a，﹣a2+2a+3）、Q（a，﹣a2+2a+2），

∵M介于O与B之间，

∴0＜a＜3，

∵A（﹣1，0），B（3，0）．

∴AM＝a+1，QM＝﹣a2+2a+2，BM＝3﹣a，PM＝﹣a2+2a+3．

①当△AMQ∽△BMP时，

AM/BM=QM/PM，

即（a+1）/（3-a）=（﹣a2+2a+2）/（﹣a2+2a+3），

解得a1=√2/2,a2=-√2/2（舍去），

∴M1（√2/2,0）；

②当△AMQ∽△PMB时，

AM/PM=QM/BM,

即（a+1）/（﹣a2+2a+3）=（﹣a2+2a+2）/（3-a），

解得a1=1+√2,a2=1-√2（舍去），

∴M2（1+√2，0）；

综上所述：M点的坐标为M1（√2/2,0），M2（1+√2，0）．