19-20人教A版数学选修1-1（课件+教师用书+作业）：第2章 2.3 2.3.2　抛物线的简单几何性质.doc

2.3.2抛物线的简单几何性质

学习目标

核心素养

1.掌握抛物线的几何性质．(重点)

2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)

1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.

2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.

1．抛物线的几何性质

标准方程

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0)

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0)

图形

性

质

焦点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

性

质

对称轴

x轴

y轴

顶点

(0,0)

离心率

e＝1

2.焦点弦

直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p.

3．直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．

当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0时，直线与抛物线没有公共点．

当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．

思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？

[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()

A．y2＝－8x B．y2＝－4x

C．y2＝8x D．y2＝4x

C[由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线的方程为y2＝2px＝8x.]

2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()

A．10 B．8

C．6 D．4

B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]

3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝eq\f(1,2)y的位置关系是()

A．相切 B．相交

C．相离 D．不确定

C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2＝\f(1,2)y，))得2x2－2x＋1＝0，即Δ＝4－80，

∴y＝2x－1与x2＝eq\f(1,2)y无交点，故选C.]

抛物线的几何性质

【例1】等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()

A．8p2 B．4p2

C．2p2 D．p2

B[因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.

由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))

所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．

所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.]

抛物线各元素间的关系

抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为eq\f(p,2).

1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()

A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)x

C．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x

C