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2024年研究生考试考研数学(一301)复习试题及答案指导

一、选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50分)

1、设函数(f(x)=e?-x),则(f(x))在(x=0处的切线斜率为：

A.(1)

B.(e)

C.(1-e)

D.(e-1)答案：A

解析：函数(f(x)=e-x)在(x=の处的导数(f(x)=e-1)。代入(x=の得

(f(0=e?-1=1-1=0)。因此，函数在(x=の处的切线斜率为1。选项A正确。

2、已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则函数的极小值点为：

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

答案：B解析：

首先求函数的一阶导数：

f(x)=3x2-12x+9

令一阶导数等于零，解得：

3x2-12x+9=0

x2-4x+3=0

(x-3)(x-1)=0

所以x=1或x=3。

接下来求函数的二阶导数：

f(x)=6x-12

将x=1和x=3分别代入二阶导数：

f(1)=6×1-12=-60f(3)=6×3-12=60

由于f(1)0,x=1为极大值点；f(3)0,x=3为极小值点。

因此，函数的极小值点为x=3,故选B。

3、设函),其中(x0。求函数(f(x)的极小值。

A.(f(x))在(x=1)处取得极小值(f(1)=1)B.(f(x)在(x=1)处取得极小值(f(1)=0C.(f(x))在(x=1)处取得极大值(f(1)=のD.(f(x))在(x=1)处无极值

答案：A解析：

首先对函数(f(x))求导

令(f(x)=0),得(x-1=0),解得(x=1)。

为了判断(x=1)处的极值性质，可以观察(f(x))的符号变化：

●当(x∈(0,))时，(x-10,因此(f(x)0,函数(f(x))在区间((0,I))上单

调递减。

●当(x∈(1,+○))时，(x-10,因此(f(x)0),函数(f(x))在区间((1,+一))

上单调递增。

。因此，(f(x))在(x=1)处取得极小值，所以，正确答案是A。

。

4、设函数(f(x)=x3-3x2+4),则(f(x)的极值点为()

A.(x=1)B.(x=2)C.(x=-1)D.(x=3)答案：B

解析：首先求出函数的导数(f(x)=3x2-6x)。令(f(x)=0解得(x=の或(x=2)。

接下来判断这两个点的极值性质。计算二阶导数(f(x)=6x-6),代入(x=の得

(f(0=-6),说明(x=の为极大值点；代入(x=2)得(f(2)=6),说明(x=2)为极小

值点。因此，(x=2)是函数的极值点，选B。

5、设函数

其中x≠±1,则下列结论正确的是()

A.f(x)在x=0B.f(x)在x=0C.f(x)在x=0D.f(x)在x=0

处连续

处不连续处可导

处不可导

答案：C

解析：要判断函数在x=0处的连续性和可导性，我们首先计算极限

limx→of(x)。

因为极限存在，所以f(x)在x=0处连续。

接下来，我们计算f(x)在x=0处的导数。由于直接求导较为复杂，我们可以使用

洛必达法则。

因为导数存在，所以f(x)在x=0处可导。因此，正确答案是C。

6、设函数(f(x)=x3-3x+2),则(f(x))的极值点个数是：

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：首先对函数(f(x))求导得(f(x)=3x2-3)。令(f(x)=0,解得(x=-1)或(x=1)。接下来，我们需要判断这两个点是否为极值点。

计算二阶导数(f(x)=6x)。将(x=-1)和(x=1)分别代入(f(x)):

●当(x=-1)时，(f(-1)=-6),小于0,所以(x=-1)是极大值点。

●当(x=1)时，(f(1)=6),大于0,所以(x=1)是极小值点。

因此，(f(x))有两个极值点，故选B。

7、设函,则(f(x))在(x=の处的左导数(f1-(の)和右导数(f1+(の)

分别为：

A.(f1-(の=-1,f1+(の=)

B.(f1-(の=1,f1+(の=-)

C.(f1_(の=-I,f1+(の=-1)D.(f1-(の)=1,f1+(の=I)答案：A

解析:首先,我们需要计算(f(